本文发表在 rolia.net 枫下论坛初中代数第八章“因式分解”释疑
(2002-11-18 13:03:07)
◆ 什么是数学方法？它的作用是什么？
数学方法是以数学为工具进行科学研究的方法。数学方法中都包含着数学思想，例如符号与变元的思想、集合思想、对应思想、公理化与结构思想、数形结合的思想、已知与未知互相转化的思想、特殊与一般互相转化的思想等。目前我们所说的数学方法，还仅仅限于在学习数学时用来解题的一些方法。
我国古人指出：“授人以鱼，不如授之以渔。”这就是说，送给他人好多好多鱼，不如教给他捕鱼的方法。这就指出了学习方法的重要性。
数学方法是属于数学知识范围内的。我们已学习过许多具体的数学方法，例如有理数或整式的加法、减法、乘法、除法以及解二元一次方程组的代入（消元）法、解一元一次不等式（组）的数轴方法等。有些数学方法还可以表示成明确的规则，我们就把这样的规则叫做法则，例如去括号、添括号的法则，多项式的乘法法则等，有些数学方法不能表示成明确的规则，我们要用心去体会它们。
在“因式分解”这一章中，我们又要接触许多数学方法，这是学习这一章知识的重点。只要我们学会了这些方法，就能运用它们去解决成千止万分解多项式的因式的问题。
◆ 这一章主要介绍了哪些数学方法？
主要介绍了以下四种：
1. 提公因式法。这是分解因式最基本的，也是首先要考虑使用的方法。
2. 运用公式法，这是指学会运用平方差公式、完全平方公式及立方和（差）公式来分解因式。学有余力的同学还可以学习运用完全立方公式 a3±3a2b±3ab2±b3 = (a±b)3
3. 分组分解法。
4. 十字相乘法。对于可化为 x2+(a+b)x+ab 型的二次三项式，一般也可用十字相乘法来进行分解。十字相乘法还可用来分解二次项系数不等于1的二次三项式和二次齐次式。
◆ 除了上面这些方法，还有没有其他的分解因式的数学方法？
有的，至少还有三种：
1. 拆项添项法，我们通过做教科书第32页上的B组第2，3，4题，可以接触到这种方法。第4题还告诉我们，添0含有“添加辅助元素”的思想，拆0含有“一分为二”的思想，这是两个重要的数学思想。
2. 配方法。我们通过学习教科书第43-44页上的“读一读”，可以了解这种方法。这种方法十分重要，我们在后续内容的学习中要经常用到。
3. 换元法。举例来说，要把 (x2+3x-2)(x2+3x+4)-16 分解因式，由于原式较复杂，所以我们把 x2+3x 换成新的变元 y，这就使问题变得简单了，教科书第42页上的“想一想”，介绍了这种方法。这种方法也含有“添加辅助元素”的思想。
使用以上三种方法，目的都是为了“从未知到已知”。如果有条件学习它们，应在学习、使用时仔细体会其中包含的数学思想。
◆ 分解因式能不能尝试待定系数法？
能。例如把二次三项式 x2+x-6 分解因式，我们知道，如果它能分解的话，应该分解成两个一次二项式的积 (x+b1)(x+b2) 把它展开，得 x2+(b1+b2)+b1b2 把它与原式x2+x-6比较，得b1+b2=1，b1b2=-6经过分析，可以知道（不一定要画十字）b1=-2，b2=3 或 b1=3，b2=-2。
∴ x2+x-6=(x-2)(x+3) 在以上解答过程中，b1，b2就是待定系数（请参看本书第17页第30问）。
◆ 分解因式时，要不要考虑一题多解？
要。一题多解是我们学习数学时，巩固基础知识和基本技能，培养数学能力的一种重要手段。举例来说，把a2+2ax+a2分解因式，至少可考虑运用以下四种方法：
1. 运用公式法。原式=(a + x)2
2. 十字相乘法，把原式看成关于字母x的二次三项式。
3. 拆项补项法。拆开2ax再分组分解，
即原式=x2+ax+ax+a2=(x2+ax)+(xa+a2)=x(x+a)+a(x+a)=(x+a)(x+a)=(x+a)2
4. 待定系数法。设原式=(x+b1)(x+b2)，把这个积展开，得x2+(b1+b2)x+b1b2，把它与原式x2+2ax+a2比较，得b1+b2=2a,b1b2=a2经过分析，可以知道b1=b2=a
∴原式=(x+a)(x+a)=(x+a)2
◆ 关于因式分解的结果，在表述上有什么要求？
主要是两条：
1. 分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
2. 相同的、不能再分解的多项式因式的积，要写成幂的形式。
3. 至于数字系数，不要求进行因数分解。高等代数可以证明，在这样的规定下，在同样的数的范围内，因式分解的结果是唯一的。
◆ 因式分解有哪些应用？
在初中，我们可以接触到以下几类应用：
1. 计算。例如教科书第25页上的B组第1题，利用因式分解计算7582-2582或4292-1712，比较简捷；
2. 与几何有关的应用题。例如教科书第25页上的B组第2，3题和第53页上的B组第6，7题；
3. 代数推理的需要。例如教科书第52页上的B组第4，5题和第九章中关于分式的化简及运算。
因式分解是学好代数的基本功之一，同学们一定要予以重视。更多精彩文章及讨论，请光临枫下论坛 rolia.net
(2002-11-18 13:03:07)
◆ 什么是数学方法？它的作用是什么？
数学方法是以数学为工具进行科学研究的方法。数学方法中都包含着数学思想，例如符号与变元的思想、集合思想、对应思想、公理化与结构思想、数形结合的思想、已知与未知互相转化的思想、特殊与一般互相转化的思想等。目前我们所说的数学方法，还仅仅限于在学习数学时用来解题的一些方法。
我国古人指出：“授人以鱼，不如授之以渔。”这就是说，送给他人好多好多鱼，不如教给他捕鱼的方法。这就指出了学习方法的重要性。
数学方法是属于数学知识范围内的。我们已学习过许多具体的数学方法，例如有理数或整式的加法、减法、乘法、除法以及解二元一次方程组的代入（消元）法、解一元一次不等式（组）的数轴方法等。有些数学方法还可以表示成明确的规则，我们就把这样的规则叫做法则，例如去括号、添括号的法则，多项式的乘法法则等，有些数学方法不能表示成明确的规则，我们要用心去体会它们。
在“因式分解”这一章中，我们又要接触许多数学方法，这是学习这一章知识的重点。只要我们学会了这些方法，就能运用它们去解决成千止万分解多项式的因式的问题。
◆ 这一章主要介绍了哪些数学方法？
主要介绍了以下四种：
1. 提公因式法。这是分解因式最基本的，也是首先要考虑使用的方法。
2. 运用公式法，这是指学会运用平方差公式、完全平方公式及立方和（差）公式来分解因式。学有余力的同学还可以学习运用完全立方公式 a3±3a2b±3ab2±b3 = (a±b)3
3. 分组分解法。
4. 十字相乘法。对于可化为 x2+(a+b)x+ab 型的二次三项式，一般也可用十字相乘法来进行分解。十字相乘法还可用来分解二次项系数不等于1的二次三项式和二次齐次式。
◆ 除了上面这些方法，还有没有其他的分解因式的数学方法？
有的，至少还有三种：
1. 拆项添项法，我们通过做教科书第32页上的B组第2，3，4题，可以接触到这种方法。第4题还告诉我们，添0含有“添加辅助元素”的思想，拆0含有“一分为二”的思想，这是两个重要的数学思想。
2. 配方法。我们通过学习教科书第43-44页上的“读一读”，可以了解这种方法。这种方法十分重要，我们在后续内容的学习中要经常用到。
3. 换元法。举例来说，要把 (x2+3x-2)(x2+3x+4)-16 分解因式，由于原式较复杂，所以我们把 x2+3x 换成新的变元 y，这就使问题变得简单了，教科书第42页上的“想一想”，介绍了这种方法。这种方法也含有“添加辅助元素”的思想。
使用以上三种方法，目的都是为了“从未知到已知”。如果有条件学习它们，应在学习、使用时仔细体会其中包含的数学思想。
◆ 分解因式能不能尝试待定系数法？
能。例如把二次三项式 x2+x-6 分解因式，我们知道，如果它能分解的话，应该分解成两个一次二项式的积 (x+b1)(x+b2) 把它展开，得 x2+(b1+b2)+b1b2 把它与原式x2+x-6比较，得b1+b2=1，b1b2=-6经过分析，可以知道（不一定要画十字）b1=-2，b2=3 或 b1=3，b2=-2。
∴ x2+x-6=(x-2)(x+3) 在以上解答过程中，b1，b2就是待定系数（请参看本书第17页第30问）。
◆ 分解因式时，要不要考虑一题多解？
要。一题多解是我们学习数学时，巩固基础知识和基本技能，培养数学能力的一种重要手段。举例来说，把a2+2ax+a2分解因式，至少可考虑运用以下四种方法：
1. 运用公式法。原式=(a + x)2
2. 十字相乘法，把原式看成关于字母x的二次三项式。
3. 拆项补项法。拆开2ax再分组分解，
即原式=x2+ax+ax+a2=(x2+ax)+(xa+a2)=x(x+a)+a(x+a)=(x+a)(x+a)=(x+a)2
4. 待定系数法。设原式=(x+b1)(x+b2)，把这个积展开，得x2+(b1+b2)x+b1b2，把它与原式x2+2ax+a2比较，得b1+b2=2a,b1b2=a2经过分析，可以知道b1=b2=a
∴原式=(x+a)(x+a)=(x+a)2
◆ 关于因式分解的结果，在表述上有什么要求？
主要是两条：
1. 分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
2. 相同的、不能再分解的多项式因式的积，要写成幂的形式。
3. 至于数字系数，不要求进行因数分解。高等代数可以证明，在这样的规定下，在同样的数的范围内，因式分解的结果是唯一的。
◆ 因式分解有哪些应用？
在初中，我们可以接触到以下几类应用：
1. 计算。例如教科书第25页上的B组第1题，利用因式分解计算7582-2582或4292-1712，比较简捷；
2. 与几何有关的应用题。例如教科书第25页上的B组第2，3题和第53页上的B组第6，7题；
3. 代数推理的需要。例如教科书第52页上的B组第4，5题和第九章中关于分式的化简及运算。
因式分解是学好代数的基本功之一，同学们一定要予以重视。更多精彩文章及讨论，请光临枫下论坛 rolia.net